Resumo Ao partirmos da proposta vigotskiana da unidade dialética entre ontogênese e filogênese como força motriz do desenvolvimento cultural na atividade humana, discutimos aspectos da organização do ensino da matemática fundamentando a relação entre atividade humana, prática social e história dos conceitos na perspectiva histórico-cultural. Nesse sentido, defendemos que também é possível compreender que a unidade entre os aspectos lógicos e históricos do objeto de conhecimento se objetivam para o ser cognoscente por meio da atividade humana de caráter coletivo. Assim, a tomada de consciência de conceitos históricos se dá em atividades humanas e resulta da produção crítica de sentido dos conceitos históricos em jogo, seus motivos e necessidades, emergindo a importância de estudar os conceitos no seu processo de produção, juntamente com as significações culturais intrínsecas à cultura em que estão inseridas. Como resultado, a proposição dos problemas com base na história da matemática, como nós entendemos, só pode ser desencadeadora de aprendizagem por meio de um trabalho conjunto com o professor. Neste sentido, a história da matemática é esclarecedora tanto ao inspirar atividades impregnadas de necessidades humanas do conceito, quanto ao permitir ao professor compreender os limites dos problemas matemáticos que podem ser formulados, bem como a mediação necessária para que os estudantes se tornem criativamente conscientes dos caminhos teóricos de pensar matematicamente. históricocultural. históricocultural histórico cultural. histórico-cultural coletivo Assim jogo inseridas resultado entendemos conceito formulados matematicamente

Abstract Based on the Vygotskian proposal of the dialectical unity between ontogenesis and phylogenesis as the driving force of cultural development in human activity, we discuss aspects of the organization of mathematics teaching, basing the relationship between human activity, social practice and history of concepts in the historical-cultural perspective. In this sense, we argue that it is also possible to understand that the unity between the logical and historical aspects of the object of knowing are objectified for the knowing being through human collective activity. Thus, the awareness of historical concepts takes place in human activities and results from the critical production of sense of the historical concepts at stake, their motives and needs, emerging the importance of studying the concepts in their production process, together with the cultural meanings intrinsic to the culture in which they are embedded. As a result, the proposition of problems based on the history of mathematics, as we understand it, can only trigger learning through joint work with the teacher. In this sense, the history of mathematics is illuminating both by inspiring activities imbued with human needs of the concept, and by allowing the teacher to understand the limits of mathematical problems that can be formulated, as well as the necessary mediation for students to become creatively aware of the theoretical ways of thinking mathematically. activity teaching historicalcultural perspective Thus stake process embedded result concept formulated mathematically

Resumo O conhecimento algébrico nos Anos Iniciais tem sido tema de interesse em pesquisas no âmbito nacional e internacional, frente ao desafio que representa a transição do pensamento aritmético para o algébrico. Diante dessa realidade, o presente artigo discute aspectos teóricos do desenvolvimento do pensamento algébrico, com foco na formação continuada de professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais. À luz da Teoria Histórico-Cultural, apresentamos a concepção de pensamento algébrico como o pensamento teórico mediado por conceitos algébricos. Nesse percurso, discutimos o conceito de generalização a partir de Davidov e de camadas de generalidade em Radford. Assumindo que a solução para o problema da álgebra nos Anos Iniciais passa pela formação de professores, entendemos que é fundamental que o professor também reconheça, em processos formativos, o uso de recursos semióticos para comunicar o seu pensamento algébrico. Nesse sentido, analisamos uma proposta de situação desencadeadora para a formação de professores e discutimos suas potencialidades para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Concluímos que acompanhar o movimento da generalização substancial e o trabalho analítico com quantidades indeterminadas pode trazer importantes contribuições para a organização da atividade pedagógica que tenha por objetivo superar o pensamento puramente aritmético na objetivação do pensamento algébrico, compreendido como pensamento teórico mediado por conceitos algébricos em um específico sistema semiótico de significação cultural.

Abstract Early Algebraic knowledge has been a subject of interest in national and international research, facing the challenge that represents the transition from arithmetic to algebraic thinking. Faced with this reality, this article discusses the theoretical aspects of the development of algebraic thinking, focusing on the continuing education of teachers who teach mathematics in the primary grades. In the light of the Historical-Cultural Theory, we present the conception of algebraic thinking as theoretical thinking mediated by algebraic concepts. In this journey, we discuss the concept of generalization from Davidov and layers of generality in Radford. Assuming that the solution to the algebra problem in the early years involves teacher education, we understand that it is essential that the teacher also recognizes, in formative processes, the use of semiotic resources to communicate his or her algebraic thinking. In this way, we analyze a proposal for a triggering situation for teacher education and discuss its potential for the development of algebraic thinking. We conclude that following the movement of substantial generalization and analytical work with indeterminate quantities can bring important contributions to the organization of pedagogical activity that aims to overcome purely arithmetic thinking in the development of algebraic thinking, understood as theoretical thinking mediated by algebraic concepts in a specific semiotic system of cultural signification.

Resumo As condições de uma cultura do trabalho permeada por avanços técnicos e tecnológicos tendem a ser apropriadas pelas instituições de formação técnica como forma de legitimar a negação, ao trabalhador, de conhecimentos teóricos produzidos historicamente. Visando contribuir para a superação dessa realidade, a pesquisa relatada neste artigo teve por objetivo investigar o desenvolvimento do pensamento teórico de estudantes, de uma escola da rede privada de ensino técnico profissionalizante, durante a elaboração de projetos técnicos. A partir da teoria histórico-cultural, compreende-se que a superação de uma aprendizagem pautada somente nas representações e classificações dos objetos permite a apropriação de conhecimentos científicos essenciais ao desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes. Como procedimento metodológico, adotou-se o experimento formativo e a coleta de dados buscou acompanhar o movimento de aprendizagem dos estudantes por meio de registros de áudio e acesso às produções escritas em diferentes momentos do processo de elaboração de projetos. A análise dos dados se deu por meio de três isolados: a realidade, a contradição e a consciência. As conclusões revelam que a organização do ensino de projetos e a orientação do professor em um curso técnico profissional podem vir a potencializar o pensar teórico com vistas a uma formação integral dos sujeitos que tome o trabalho como princípio ontológico na organização do ensino ao possibilitar ao estudante o contato com a realidade, oportunidades de reflexão frente às contradições e à tomada de consciência sobre o objeto de estudo em meio aos caminhos das soluções práticas e teóricas do problema.

Abstract The conditions of a culture of labour permeated by technical and technological advances tend to be seized by technical training institutions as a way to legitimize the denial, to the worker, of historically produced theoretical knowledge. Aiming at contributing to overcoming this reality, the objective of the research reported in this article was to investigate the development of theoretical thinking of students of a private school of technological and vocational education, during the elaboration of technical projects. In accordance to the cultural-historical theory, it is understood that the overcoming of learning based only on the representations and classifications of the objects allows the appropriation of scientific knowledge essential to the development of students’ theoretical thinking. As methodological procedure, training experiment was adopted and data collection sought to follow the movement of learning of the students through audio records and access to their written productions at different moments of the project elaboration process. The analysis of the data took place through three isolates: reality, contradiction and consciousness. The conclusions reveal that the organization of project teaching and the orientation provided by the teacher in a professional technical course may lead to theoretical thinking with a view to an integral formation of the subject that takes labour as an ontological principle in the organization of teaching by enabling the student to have contact with reality and opportunities to reflect on contradictions, as well as to become aware of the object of study in the midst of the practical and theoretical solutions to the problem.

Luis Radford é professor titular da Laurentian University em Sudbury, Ontário, no Canadá. Desde 1992, leciona no programa de formação de professores da École des Sciences de l’Éducation, onde é atualmente diretor e coordenador do Laboratório de Pesquisa em Semiótica Cultural e Pensamento Matemático. Professor de Educação da Universidade de Manchester, no Reino Unido, é presidente do Grupo Internacional de Estudos sobre as relações entre a História e a Pedagogia da Matemática, afiliado à International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Autor de diversos artigos científicos nos quais relaciona temas complexos como história, cultura, ensino e aprendizagem, Luis Radford é internacionalmente reconhecido como pesquisador da área da educação matemática, tendo recebido em 2011 a Medalha Hans Freudenthal do ICMI. Na entrevista concedida durante sua estadia no Brasil, em março de 2014, Luis Radford revela alguns de seus caminhos de formação e sintetiza alguns dos elementos e princípios que orientam a Teoria Cultural da Objetivação sobre os processos de ensino e aprendizagem e, em particular, de que forma essa concepção teórica se relaciona com o campo de pesquisa da educação matemática. Na entrevista, são abordadas ainda algumas estratégias e técnicas metodológicas de pesquisa com professores e alunos, em projetos longitudinais que permitem traçar o desenvolvimento cultural da criança. Por fim, o professor Luis Radford aborda questões gerais relacionadas às orientações curriculares no Brasil, compreendido como um país com importante diversidade cultural e social. A leitura dessa entrevista remete à atualidade das pesquisas sobre os processos de ensino e aprendizagem, de forma específica daqueles relacionados ao conhecimento matemático, bem como oferece elementos para a discussão sobre os processos de formação de professores que visem à formação do sujeito em suas máximas potencialidades, ainda que condicionado por determinantes sociais e culturais.

Luis Radford is a professor at Laurentian University in Sudbury, Ontario, Canada. He has taught in the Education program at The École des Sciences de l’Éducation since 1992, where he is currently director and coordinates the Research Laboratory of Cultural Semiotics and Mathematical Thinking. Education Professor of the University of Manchester in the United Kingdom, he is president of the International Study Group on Relations between the History and Pedagogy of Mathematics, affiliated to International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Author of several scientific articles in which he relates complex topics such as history, culture, teaching and learning, Luis Radford is an internationally recognized researcher in the field of mathematics education, having received the Hans Freudenthal Medal of ICMI in 2011. In an interview during his stay in Brazil, in March 2014, Luis Radford revealed some paths of his education and summarized some of the elements and principles that guide the cultural theory of objectification on the processes of teaching and learning and, in particular, how this theoretical concept relates to the research on mathematics education. He also discussed some strategies and methodological research techniques with teachers and students, in longitudinal projects that allow tracing the cultural development of children. Finally, Professor Luis Radford discussed general questions related to curriculum guidelines in Brazil, understood as a country with important cultural and social diversity. The reading of this interview points to the relevance of research on the processes of teaching and learning, specifically those related to mathematical knowledge, and provides elements for discussion about the processes of teacher education that are aimed at educating subjects to their maximum potential, in spite of social and cultural determinants.

Com base na Teoria Histórico-Cultural, nas proposições gerais de Vigotski acerca do caráter social do psiquismo humano e no conceito de atividade aprofundado por Leontiev, a pesquisa investigou a aprendizagem de elementos da docência da Matemática em estudantes de Pedagogia que participaram do Clube de Matemática em uma universidade pública paulista. Os dados analisados foram produzidos pelos sujeitos na forma de portfólio reflexivo individual e relatório final coletivo. A análise dos dados revela que a transformação coletiva das atividades desencadeada pelas necessidades postas aos sujeitos vincula-se ao movimento de atribuição de novos sentidos à reorganização de ações e sua relação com o planejamento, à relação do sujeito com o ensino da Matemática, à relação entre a teoria e a prática na organização do ensino e às condições objetivas do trabalho do professor. Assim, aponta para o movimento de formação docente em atividade de ensino no Clube de Matemática.

Based on the Historical-Cultural theory and on Vygotsky’s general propositions about the social nature of the human psyche and the concept of activity deepened by Leontiev, we have investigated elements of the learning of Mathematics teaching in Pedagogy students who participated in the Mathematics Club at a public university in São Paulo. The data analyzed were produced by the subjects in the form of individual reflective portfolio and collective final report. Data analysis reveals that the transformation of collective activities, triggered by the needs placed upon the subject, is linked to the movement of assigning new meanings to the reorganization of actions and their relation to the planning, the subject’s relation to the teaching of mathematics, the relationship between theory and practice in teaching organization, and objective conditions of the teacher’s work. Thus, it points to the movement of teacher training in teaching activity in the Mathematics Club.

Con base en la Teoría Histórico-Cultural, en las proposiciones generales de Vygotsky acerca del carácter social del psiquismo humano y en el concepto de actividad profundizado por Leontiev, el estudio investigó el aprendizaje de elementos de la docencia de la Matemáticas en estudiantes de Pedagogía que participaron del Club de Matemáticas en una universidad pública paulista. Los datos analizados fueron producidos por los sujetos en la forma de portfolio reflexivo individual e informe final colectivo. El análisis de los datos muestra que la transformación colectiva de las actividades desencadenada por las necesidades puestas a los sujetos se vincula al movimiento de atribución de nuevos sentidos a la reorganización de acciones y su relación con el planeamiento, a la relación del sujeto con la enseñanza de la Matemáticas, a la relación entre la teoría y la práctica en la organización de lo enseñanza y a las condiciones objetivas del labor del profesor. Así, apunta para el movimiento de formación docente en actividad de enseñanza en el Club de Matemáticas.

Esse artigo, de natureza teórica, tem como objetivo apresentar os aportes do enfoque histórico-cultural e da teoria da atividade à compreensão da constituição do humano no homem. O ponto de partida, para explicar o processo de humanização, é a teoria histórico-cultural, cuja origem epistemológica está no materialismo dialético, a partir das obras de Marx. O artigo, primeiramente, apresenta as categorias teóricas centrais à explicação do desenvolvimento e constituição do humano, tais como atividade, consciência, necessidade, motivo, apropriação. Num segundo momento, apresenta as contribuições da perspectiva teórica em foco à educação, especialmente à educação escolar. Entende-se, nesse sentido, a educação como o processo de apropriação da cultura humana resultado da atividade efetiva do homem sobre os objetos e o mundo circundante mediados pela comunicação. Por último, propõe o método materialista histórico dialético como base para a pesquisa em educação e apresenta seus princípios fundamentais à investigação da constituição dos fenômenos humanos.

The objective of this theorical article is to present the historical-cultural approach and the theory of the activity to the understanding the constitution of the human being in the singular man. The starting point, to explain the humanization process, is the historical-cultural theory, whose epistemological origin is the dialectical materialism, from the works of Marx. The article, first, presents the central theoretical categories to the explanation of the development and constitution of the human being, such as activity, conscience, necessity, motive, appropriation. Afterwards, it presents the contributions of the theoretical perspective to education, especially to school education. The education is understood as the process of appropriation of the human culture resulted from the human activity on objects and the surrounding world mediated by the communication. Finally, it proposes materialistic dialectical history method as the basis for education research and displays its fundamental principles to the inquiry of the human phenomena constitution.

O artigo apresenta uma pesquisa de doutorado que investigou o processo de formação de professores de matemática em atividade de ensino, ao elaborarem coletivamente situações desencadeadoras de aprendizagem. Fundamentando-se na teoria histórico-cultural e na Teoria da Atividade, elaborou-se uma proposta de formação continuada de professores, ancorada nos conceitos de trabalho e atividade, que se constituiu no campo empírico da investigação. Na análise comparativa dos dados provenientes de elaborações coletivas e socializações das propostas de ensino, buscaram-se evidências que revelassem mudanças no movimento de organização das ações dos professores. Os resultados evidenciam que, na (re)organização coletiva de suas ações, os professores atribuíram novos sentidos às próprias ações, à mediação e à escolha de instrumentos, apropriando-se das formas de realização colaborativa da atividade de ensino. Nesse percurso de formação, o novo fazer dos professores constituiu-se, de forma mediada, na práxis pedagógica, o que corrobora o coletivo como espaço de produção de conhecimento.

The research described investigated the process of the training of teachers within a teaching activity, while collectively elaborating on trigger-learning situations. The proposal was for continual formation of teachers, based in historic-cultural theory and the theory of Activity, supported by the concepts of work and activity. In the comparative analysis of the teaching proposals and the socialization process, we sought evidence that would reveal the changes in the movement of the organization of the teachers' actions. The results show that in a collective (re)organization of their actions the teachers attributed new understandings to their own actions, to the mediation and to the choice of tools, appropriating for themselves the collaborative forms of the teaching activity. In this formation process, the new practices of the teachers were mediated into the pedagogical praxis that strengthens the meaning of collective as a knowledge production space.

Neste artigo relatamos uma investigação, realizada com estudantes de 8ª série de uma escola pública, sobre o papel dos conhecimentos prévios e das interações sociais na aprendizagem do conceito de função. Comparando momentos de trabalho individual com situações de interação constatamos que a interação possibilitou um movimento de compreensão do conceito, no sentido da abstração e de generalização, que não ocorreu na situação de trabalho individual.

This paper reports a research about the influences of previous ideas and social interaction in learning of function concept carried out with 8th grade students of a public school. Comparing moments of individual work with interactions situations we observed that the circumstances where interactions occurs, a greater comprehension of concept and how it enables abstraction and generalization was made possible whereas this did not occur in the situation where individual work was carried out.